理解LDL分解的例子

例如一个原始矩阵：
A = | 4 2 |
| 2 5 |

可采用以下步骤来计算LDL分解

1、解始化一个单位下三角矩阵L，以及对角矩阵D

L = | 1 0 |
| l 1 |

D = | d1 0 |
| 0 d2 |

2、根据LDL分解的定义，我们有 A = L * D * L^T。我们需要找到合适的l和d值，使得这个等式成立。首先计算L和D的第一个元素：

4 = 1 * d1 * 1 + 0 * 0 * l
所以，d1 = 4。

2 = 1 * 0 * 1 + 0 * l * 1

这里我们可以选择任意非负值作为l，例如l = 0。

3、接下来，我们计算L和D的第二个元素。首先计算L的第二行第一个元素l：

2 = 0 * d1 * 1 + l * d2
所以，l = 2 / d1 = 0.5
然后计算D的第二个对角元素d2：

5 = 1 * d1 * l + l^2 * d2
代入已知的d1和l的值，我们得到：
5 = 4 * 0.5 + (0.5)^2 * d2
解这个方程，我们得到 d2 = 3.75。

4、最后，我们得到了LDL分解的结果：

L = | 1 0.5 |
| 0 1 |

D = | 4 0 |
| 0 3.75|

L * D * L^T 的结果将等于原始矩阵A。